老式卫生间洗手池的下水管通常是通过螺纹连接或橡胶密封圈连接的，更换下水管的步骤如下：
1. 准备工具和材料：更换下水管需要用到扳手、螺丝刀、密封胶等工具，以及新的下水管。
2. 关闭水源：在更换下水管之前，需要关闭洗手池的水源，以免水流造成不必要的麻烦。
3. 拆卸旧下水管：使用扳手或螺丝刀拆卸旧下水管与洗手池和排水管道的连接。如果下水管是通过螺纹连接的，可以使用扳手逆时针旋转拆卸；如果是通过橡胶密封圈连接的，可以使用螺丝刀或扁嘴钳拆卸。
4. 清理排水管道：拆卸旧下水管后，需要清理排水管道内的杂物和污垢，以免影响新下水管的安装和使用。
5. 安装新下水管：将新下水管的一端插入洗手池的排水口，另一端插入排水管道。如果下水管是通过螺纹连接的，可以使用扳手顺时针旋转拧紧；如果是通过橡胶密封圈连接的，可以将下水管插入排水管道后，用螺丝刀或扁嘴钳将密封圈固定在排水管道上。
6. 密封连接部位：安装新下水管后，需要使用密封胶或生料带密封连接部位，以防止漏水。
7. 打开水源：安装完成后，打开洗手池的水源，检查下水管是否漏水。如果发现漏水，需要重新检查连接部位并进行密封处理。

需要注意的是，更换下水管时需要注意安全，避免操作不当造成伤害。如果自己不熟悉操作，建议请专业人士进行更换。